Serje ta' Fourier

Fil-matematika, serje ta' Fourier hi rappresentazzjoni ta' funzjoni perjodika (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

$x\mapsto e^{\mathrm{i}nx}$ ;

Minħabba l-formula ta' Euler, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-senu u kosenu.

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż Joseph Fourier (1768-1830), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-serje infiniti (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn Euler, d'Alembert u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni tas-sħana, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-1807 u fl-1811 u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu Théorie analytique de la chaleur fl-1822. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' funzjoni u ta' integral. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li Dirichlet u Riemann irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti.

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala sovrappożizzjoni ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha analisi armonika.

Definizzjoni ta' serje ta' Fourier

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi $f$ li hi perjodika b'perijodu $2\pi$ u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall $[0,2\pi ]$. Niddefinixxu

$F_n:=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x.$ .

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta' $f$ tingħata minn

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{\mathrm{i}nx}.$.

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu mod ta' Fourier. Fil-każ partikulari importanti fejn $f$ hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

$e^{inx}=\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx)$

biex nirrappreżentaw $f$ ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma $\cos (nx)$ u $\sin (nx)$, jiġifieri bħala

$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)]$ ,

fejn

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathrm{d}xf(x)\cos (nx)\text{u}{b}_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathrm{d}xf(x)\sin (nx)$ ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta'

$F_n=\frac{a_n-\mathrm{i}{b}_n}{2}\text{u}{F}_n=F_{-n}^{*}$ .

Eżempju

Nikkonsidraw il-funzjoni $f(x)=x$, il-funzjoni identità għal $x\in [-\pi ,\pi ]$. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li $\cos (nx)$ hi funzjoni żewġija, waqt li l-f u $\sin (nx)$ huma funzjonijiet farradin.

$a_0=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}xdx=0$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos (nx)dx=0$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx$

$=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx=\frac{2}{\pi }({[-\frac{x\cos (nx)}{n}]}_0^{\pi }+{\left[\frac{\sin (nx)}{n^2}\right]}_0^{\pi })=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{n}$

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

$f(x)=x=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{2}{n}\sin (nx),\mathrm{\forall }x\in (-\pi ,\pi )$

Konvergenza tas-serje ta' Fourier

Waqt li l-koeffiċjenti ta' Fourier $a_n$ u $b_n$ nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal $f(x)$ jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta $f$ hi ta' kwadrat integrabbli; f'dak il-każ

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{|f(x)-\sum _{n=-N}^N{F}_n{e}^{\mathrm{i}nx}|}^2\mathrm{d}x=0$

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-ispazju L²).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti x, pereżempju jekk il-funzjoni tkun differenzjabbli fx. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin fx, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-fenomenu Gibbs.

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-exp

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" $e^{\mathrm{i}kx}$ huma omomorfiżmi tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-grupp tal-ċirkonferenza, hemm xi identitajiet utli:

• Jekk

$g(x)=f(x-y)$

u niddenotaw b'G it-trasformata ta' g, imbagħad

$G_k=e^{-\mathrm{i}ky}{F}_k$ .

• Jekk $H_k$ hi it-trasformata ta' $h=f*g$, imbagħad

$H_k=F_k{G}_k$ ,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' konvoluzzjoni hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk $h=fg$, imbagħad it-trasformata ta' Fourier H ta' h hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' f u ta' g:

$H_k=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_i{G}_{k-i}$ .

Teorema ta' Parseval

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-teorema ta' Parseval, każ partikulari tat-teorema ta' Plancherel u forma ta' unitarjetà:

$||F|{|}^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|F_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx$ .

$||F|{|}^2:=$ Norma bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-enerġija tas-sinjal). In partikulari għall-funzjoni f b'valuri reali:

$\frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x{)}^{2}dx$.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

Formulazzjoni ġenerali

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-ortognalità u tal-omomorfiżmu tal-funzjonijiet $e^{\mathrm{i}nx}$. Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' funzjonijiet ortognali għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' funzjonijiet ta' Bessel u l-polinomji ortognali. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-problemi ta' Sturm-Liouville. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger tal-mekkanika mewġija.

Paġni li għandhom x'jaqsmu

• Trasformata ta' Fourier
• Analisi armonika
• Fenomenu ta' Gibbs
• Teorija ta' Sturm-Liouville

Bibljografija

• William E. Byerly (1893): An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics Ginn & Company.
• Horatio S. Carslaw (1921): Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, Macmillan & co., ltd.
• E. W. Hobson (1926): The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press.
• Antoni Zygmund (1935): Trigonometrical series, Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
• Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

Ħoloq esterni

• Eżempji ta' problemi ta' Fourier fuq exampleproblems.com
• Java applet li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.