L-Integral

Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:

$x^{\alpha }(\alpha >-1)$ (Fermat 1636),

$1/x$ (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall $I$ fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija $f$ (il-funzjoni integrata) definita fuq $I$ u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall $I$ għall-grafiku tal-funzjoni $f$. In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni $f$ fuq l-intervall $I$.

Jekk il-grafiku tal-funzjoni $f$ hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni $f$ hi integrabbli fuq l-intervall $I$. Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni $f$ m'hijiex integrabbli fuq l-intervall $I$.

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall $[a,b]$ f'$n$ sottointervalli tat-tip $[x_{s-1},x_s]$ fejn $s=1,2,...,n$ u $x_0=a;x_n=b$. Għal kull sottointervall nagħżlu punt $t_s$, li l-immaġni tiegħu hi $f(t_s)$, u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall $[x_{s-1},x_s]$ u għoli $f(t_s)$; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

$\sum _{s=1}^{n}f(t_s)\delta x_s:=\sum _{s=1}^{n}f(t_s)(x_s-x_{s-1})$ .

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli $\delta x_s=x_s-x_{s-1}$, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru $i$, il-funzjoni $f$ hi integrabbli fuq l-intervall $[a,b]$, u $i$ hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann

Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt $[a,b]$ permezz ta' partizzjoni $P$ f'$n$ sottointervalli :

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b\}$,

Ħalli jkunu

• $m_k=\inf \{f(x):x\in [x_{k-1},x_k]\}$

• $M_k=\sup \{f(x):x\in [x_{k-1},x_k]\}.$

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni $P$):

$s(f,P)=\sum _{k=1}^n{m}_k(x_k-x_{k-1}).$

Jekk nammettu li $f$ tieħu valuri pożittivi fl-intervall, $s(f,P)$ hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan $ℝ$, taħt il-grafiku ta' $f$.

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni $P$):

$S(f,P)=\sum _{k=1}^n{M}_k(x_k-x_{k-1})$

Analogament, $S(f,P)$ hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun $ℝ$.

Jidher ċar li jekk $m\le f(x)\le M,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ imbagħad għal kull partizzjoni $P$ ta' $[a,b]$:

$m(b-a)\le s(f,P)\le S(f,P)\le M(b-a)$.

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Mudell:Matematika

Ħalli jkunu

$s(f)=\sup \{s(f,P):P$ partizzjoni ta' $[a,b]\}$, $S(f)=\inf \{S(f,P):P$ partizzjoni ta' $[a,b]\}$.

$s(f)$ ngħidulu l-integral inferjuri u $S(f)$ l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

$s(f)\le S(f).$

Definizzjoni

In-numri $a$, $b$ ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u $f$ l-integrand ($a$ l-ewwel tarf, $b$ it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri $\int f(x)\mathrm{d}x$ tfisser l-istess bħal $\int f(t)\mathrm{d}t$. Id-$\mathrm{d}x$ insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli $f$ hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

$\{(x,y)|0\le y\le f(x),x\in [a,b]\}.$

Jekk il-funzjoni $f$ tibdel is-sinjal fuq $[a,b]$ l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.

Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall $[a,b]$ f'sottointervalli ugwali ta' tul $(b-a)/n$. Jekk il-limiti ta' $s(f,P_n)$ u ta' $S(f,P_n)$ meta $n$ tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

$s(f)\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }s(f,P_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(f,P_n)\ge S(f)$

u allura, la $s(f)\le S(f)$, ikollna wkoll

$s(f)=S(f).$

Eżempju 1.

Ħalli $f(x)=x^2$ u l-intervall ikun $[0,1]$. Imbagħad

$M_k=\sup \{x^2|x\in [(k-1)/n,k/n]\}=(k/n{)}^2$

u

$m_k=\inf \{x^2|x\in [(k-1)/n,k/n]\}=((k-1)/n{)}^2.$

Mela

$S(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{2n+1}{2n}\right),$

fejn użajna l-formula $1^2+2^2+\dots +n^2=n(n+1)(2n+1)/6$.

Bl-istess mod

$s(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k-1}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2=\frac{1}{3}\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{2n-1}{2n}\right).$

Allura

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }s(f,P_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(f,P_n)=\frac{1}{3}.$

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni $g:[0,1]\mapsto ℝ$ definita hekk

$g(x)=\{\begin{array}{c}1,\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{k}x\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\\ 0,\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{k}x\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}.\end{array}$

Għal kull partizzjoni tal-intervall $[0,1]$, f'kull sottointervall $[x_{k-1},x_k]$ hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela $M_k=1$ u $m_k=0$. Għalhekk

$s(g,P)=\sum _{k=1}^n{m}_k(x_k-x_{k-1})=0$ $s(g,P)=\sum _{k=1}^n{m}_k(x_k-x_{k-1})=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=1.$

Mela $s(g)=0$ u $S(g)=1$. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni $g$ mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni. Mudell:Matematika Prova : Nissoponu li $f$ hi integrabbli u hekk $S(f)=s(f)$. Għall kull $ϵ>0$ mogħtija, teżisti partizzjoni $P_1$ ta' $[a.b]$ li tissodisfa

$s(f,P_1)>s(f)-\frac{ϵ}{2}.$

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni $P_2$ ta' $[a.b]$ li tissodisfa

$S(f,P_2)<S(f)+\frac{ϵ}{2}.$

Ħalli $P=P_1\cup P_2$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$S(f,P)-s(f,P)\le S(f,P_2)-s(f,P_1)<(S(f)+\frac{ϵ}{2})-(s(f)-\frac{ϵ}{2})=S(f)-s(f)+ϵ=ϵ.$

Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull $ϵ>0$ mogħtija, teżisti partizzjoni $P$ ta' $[a.b]$ li tissodisfa $S(f,P)<s(f,P)+ϵ$. Allura

$S(f)\le S(f,P)<s(f,P)+ϵ\le s(f)+ϵ.$

La $ϵ$ hi arbitrarja, bilfors li $S(f)\le s(f)$ u allura $S(f)=s(f)$ u $f$ hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann

Integrabbiltà

Mudell:Matematika Prova: Nissoponu li l-funzjoni $f$ tiżdied fuq $[a,b]$. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw $ϵ>0$, nistgħu nagħzlu $\delta >0$ li tissodisfa

$\delta <\frac{ϵ}{f(b)-f(a)}.$

Ħalli $P$ tkun partizzjoni tal-intervall $[a,b]$ f'sottointervalli $[x_{k-1},x_k]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$. Mill-monontonija għandna li $M_k=f(x_k)$ u $m_k=f(x_{k-1})$. Mela

$0<S(f,P)-s(f,P)=\sum _{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1}))(x_k-x_{k-1})<\frac{ϵ}{f(b)-f(a)}\sum _{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1}))=ϵ.$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni $f:[a,b]\to ℝ$ hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw $ϵ>0$, teżisti $\delta >0$ li għaliha

$|f(x)-f(y)|<\frac{ϵ}{b-a}$

kull meta $|x-y|<\delta$. Jekk $P$ hi partizzjoni tal-intervall $[a,b]$ f'sottointervalli $[x_{k-1},x_k]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$, imbagħad ikollna

$0<M_k-m_k<\frac{ϵ}{b-a}$

u mela

$0<S(f,P)-s(f,P)=\sum _{k=1}^n(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1})<\frac{ϵ}{b-a}\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=ϵ.$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità

Mudell:Matematika Prova: Jekk $\alpha \ge 0$ jidher ċar li $S(\alpha f)=\alpha S(f)$ u $s(\alpha f)=\alpha s(f)$. Mela la

$S(f)=s(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$

għandna

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(x)\mathrm{d}x=S(\alpha f)=s(\alpha f)=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

B'mod simili jekk $\alpha <0$ għandna $S(\alpha f)=\alpha s(f)$ u $s(\alpha f)=\alpha S(f)$ u allura

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(x)\mathrm{d}x=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x.$

Niftakru li

$\underset{x\in D}{\sup }[f(x)+g(x)]\le \underset{x\in D}{\sup }f(x)+\underset{x\in D}{\sup }g(x)\mathrm{u}\underset{x\in D}{\inf }([f(x)+g(x)])\ge \underset{x\in D}{\inf }f(x)+\underset{x\in D}{\inf }g(x)$

u għalhekk għal kull partizzjoni $P$ ta' $[a,b]$

$S(f+g,P)\le S(f,P)+S(g,P)\mathrm{u}s(f+g,P)\ge s(f,P)+s(g,P).$

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $ϵ>0$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $P_1$ u $P_2$ ta' $[a,b]$ li jissodisfaw

$S(f,P_1)<s(f,P_1)+\frac{ϵ}{2}\mathrm{u}S(g,P_2)<s(g,P_2)+\frac{ϵ}{2}.$

Ħalli $P=P_1\cup P_2$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$S(f,P)<s(f,P)+\frac{ϵ}{2}\mathrm{u}S(g,P)<s(g,P)+\frac{ϵ}{2}.$

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

$S(f+g,P)<S(f,P)+S(g,P)<s(f,P)+s(g,P)+ϵ<s(f+g,P)+ϵ$

u allura l-funzjoni $f+g$ hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x& =S(f+g)\le S(f+g,P)\\ & <s(f,P)+s(g,P)+ϵ\\ & \le s(f)+s(g)+ϵ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x+ϵ\end{array}$

u

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x& =s(f+g)\ge s(f+g,P)\\ & >S(f,P)+S(g,P)-ϵ\\ & \ge S(f)+S(g)-ϵ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x-ϵ\end{array}$

nikkonkludu li

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x.$

Additività

Mudell:Matematika Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $ϵ>0$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $P_1$ ta' $[a,c]$ u $P_2$ ta' $[c,b]$ li jissodisfaw

$S(f,P_1)-s(f,P_1)<\frac{ϵ}{2}\mathrm{u}S(f,P_2)-s(f,P_2)<\frac{ϵ}{2}.$

Ħalli $P=P_1\cup P_2$. Din partizzjoni ta' $[a,b]$ u għandna

$S(f,P)-s(f,P)=S(f,P_1)+S(f,P_2)-s(f,P_1)-s(f,P_2)=(S(f,P_1)-s(f,P_1))+(S(f,P_2)-s(f,P_2))<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.$

Mela $f$ hi integrabbli fuq $[a,b]$.

Nin-naħa l-oħra, la

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x& \le S(f,P)=S(f,P_1)+S(f,P_2)\\ & <s(f,P_1)+s(f,P_2)+ϵ\\ & \le \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+ϵ\end{array}$

u

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x& \ge s(f,P)=s(f,P_1)+s(f,P_2)\\ & >S(f,P_1)+S(f,P_2)-ϵ\\ & \ge \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-ϵ\end{array}$

nikkonkludu li

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

kif nixiequ.

Monotonija

Mudell:Matematika Prova : Jekk $f(x)\le g(x)$ għal kull $x\in [a,b]$, għal kull partizzjoni $P$ ta' $[a,b]$ ikollna

$S(f,P)\le S(g,P)\mathrm{u}s(f,P)\le s(g,P)$

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut

Mudell:Matematika Prova: Ħalli $P$ tkun partizzjoni ta' $[a,b]$ f'$n$ sottointervalli

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b\}$,

u

${\tilde{m}}_k=\inf \{|f(x)|:x\in [x_{k-1},x_k]\},{\tilde{M}}_k=\sup \{|f(x)|:x\in [x_{k-1},x_k]\}.$

Mid-diżugwaljanza

$|f(x)|-|f(y)|\le |f(x)-f(y)|\le M_k-m_k$

għal kull $x,y\in [x_{k-1},x_k]$, nikkonkludu li

${\tilde{M}}_k-{\tilde{m}}_k\le M_k-m_k$

u allura

$S(|f|,P)-s(|f|,P)\le S(f,P)-s(f,P).$

Mela la $f$ hi integrabbli, $|f|$ hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni $\pm f(x)\le |f(x)|$ valida għal kull $x\in [a,b]$.

Teorema tal-medja

Prova: La $f$ hi kontinwa f'$[a,b]$, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu $M$ u minimu $m$ f'$[a,b]$:

$\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)=M\text{ u }\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)=m.$

Mela

$m\le f(x)\le M.$

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

$m(b-a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}m\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}M\mathrm{d}x=M(b-a)$

u allura

$m\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le M.$

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li $f$ f' $[a,b]$ trid tieħu il-valuri kollha f'$[m,M]$. Allura, in partikulari teżisti $c\in [a,b]$ li tissodisfa $f(c)=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Mudell:Matematika Prova: Nieħdu $c\in [a,b]$. Imbagħad għal kull $ϵ>0$ mogħtija, teżisti $\delta >0$ li għaliha

$|f(t)-f(c)|<ϵ,$

jekk $|t-c|\le \delta .$ Jidher ċar li

$f(c)=\frac{1}{\delta }\underset{c}{\overset{c+\delta }{\int }}f(c)\mathrm{d}t$

u li

$\frac{F(c+\delta )-F(c)}{\delta }=\frac{1}{\delta }\underset{c}{\overset{c+\delta }{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Allura għandna

$\frac{F(c+\delta )-F(c)}{\delta }-f(c)=\frac{1}{\delta }\underset{c}{\overset{c+\delta }{\int }}(f(t)-f(c))\mathrm{d}t$

u għalhekk

$|\frac{F(c+\delta )-F(c)}{\delta }-f(c)|\le \frac{1}{\delta }\underset{c}{\overset{c+\delta }{\int }}|f(t)-f(c)|\mathrm{d}t.$

Mela $\frac{F(c+\delta )-F(c)}{\delta }$ tikkonverġi lejn $f(c)$ meta $\delta$ tersaq lejn 0, u allura

$F^{\prime }(c):=\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{F(c+\delta )-F(c)}{\delta }=f(c).$

Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni $F$ derivabbli f'intervall $[a,b]$ ngħidulha l-primittiva ta' $f$ f' $[a,b]$ jekk:

$F^{\prime }(x)=f(x)$

għal kull $x\in [a,b]$.

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Prova: Ħalli $P$ tkun partizzjoni ta' $[a,b]$ f'$n$ sottointervalli

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b\},$

u

${\tilde{m}}_k=\inf \{f^{\prime }(x):x\in [x_{k-1},x_k]\},{\tilde{M}}_k=\sup \{f^{\prime }(x):x\in [x_{k-1},x_k]\}.$

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall $[x_{k-1},x_k]$, niksbu punti $t_k\in (x_{k-1},x_k)$, li għalihom

$f(x_k)-f(x_{k-1}=f^{\prime }(t_k)(x_k-x_{k-1}).$

Mela għandna

$f(b)-f(a)=\sum _{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=\sum _{k=1}^n{f}^{\prime }(t_k)(x_k-x_{k-1}).$

La

${\tilde{m}}_k\le f(t_k)\le {\tilde{M}}_k$

għal kull

$k$

, isegwi li

$s(f^{\prime },P)\le f(b)-f(a)\le S(f^{\prime },P).$

La din hi valida għal kull partizzjoni $P$, għandna wkoll

$s(f^{\prime })\le f(b)-f(a)\le S(f^{\prime }).$

Imma qegħdin nassumu li $f^{\prime }$ hi integrabbli fuq $[a,b]$, u għalhekk

$s(f^{\prime })=S(f^{\prime })=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$

Allura

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=f(b)-f(a).$

Integrali impropri

Ngħidu li l-funzjoni $f$ hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip $[a,\mathrm{\infty })$ jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |$f$| hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip $[a,\mathrm{\infty }]$:

Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ jeżisti u hu finit hi li

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\gamma >0:\mathrm{\forall }{x}_1,x_2<\gamma |\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|<ϵ.$

Mill-integrabbiltà ta' $|f|$ nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu $|f(x)|$ minflok $f(x)$:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\gamma >0:\mathrm{\forall }{x}_1,x_2<\gamma \left|\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x\right|<ϵ.$

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x.$

U mela nistgħu niktbu

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\gamma >0:\mathrm{\forall }{x}_1,x_2<\gamma \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}|f(x)\mathrm{d}x|<ϵ.$

Mill-liema niksbu li $f$ hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

$\frac{\sin x}{x}.$

L-integral skont Lebesgue

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall $[a,b]$ f'settijiet iżjed ġenerali.

Bibljografija

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Ħoloq esterni

• L-Integral - Kalkolu foramli ta' primittivi
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)