Trasformata ta' Fourier

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Definizzjoni

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u\in L^1(ℝ)$, niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u$ hekk:

$ℱ\{u\}(\omega )=\hat{u}(\omega ):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }{e}^{-\mathrm{i}\omega t}u(t)dt\mathrm{\forall }\omega \in ℝ$

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

$ℱ:u\to \hat{u}$

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet $u\in L^1({ℝ}^n)$:

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u\in L^1({ℝ}^n)$ niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u$ hekk:

$ℱ\{u\}(\mathit{\omega })=\hat{u}(\mathit{\omega }):=\frac{1}{{\sqrt{2\pi }}^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-\mathrm{i}\mathit{\omega }\cdot 𝐭}u(𝐭)d𝐭\mathrm{\forall }\mathit{\omega }\in {ℝ}^n$

fejn $\mathit{\omega }\cdot 𝐭$ jirrappreżenta l-prodotti skalari.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur $\frac{1}{{\sqrt{2\pi }}^n}$.

Eżempji

---

Jekk $u(t)={\chi }_{[-1,+1]}(t)$, jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

$\hat{u}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }{e}^{-i\omega t}{\chi }_{[-1,+1]}(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}dt$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\left[\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{-\mathrm{i}\omega }\right]}_{-1}^{+1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{e^{\mathrm{i}\omega }-e^{-\mathrm{i}\omega }}{\mathrm{i}\omega }=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin \omega }{\omega }$

---

Jekk $u(t)=\frac{1}{1+t^2}$, għandna:

$\hat{u}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }{e}^{-\mathrm{i}\omega t}u(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{+R}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}u(t)dt$

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{+R}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}u(t)dt=\{\begin{array}{cc}\pi e^{\omega }& \omega <0\\ \pi e^{-\omega }& \omega >0\end{array}$

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

$\hat{u}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{1+t^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{-|\omega |}$

Proprijetajiet formali

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

$ℱ(\alpha f+\beta g)=\alpha ℱ(f)+\beta ℱ(g)$

għal kull $f,g\in L^1(ℝ)$ u $\alpha ,\beta \in ℂ$.

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli $f\in L^1(ℝ)$ u $\alpha \in ℂ$.

Jekk $g(t)=f(t-\alpha )$, imbagħad

$\hat{g}(\omega )=\hat{f}(\omega )e^{-\mathrm{i}\alpha \omega }$

u jekk $g(t)=f(t)e^{\mathrm{i}\alpha t}$, imbagħad

$\hat{g}(\omega )=\hat{f}(\omega -\alpha )$.

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk $g(t)=f(-t)$, imbagħad $\hat{g}(\omega )=\hat{f}(-\omega )$, u jekk $g(t)=f(-t{)}^{*}$, fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad $\hat{g}(\omega )=\hat{f}(\omega {)}^{*}$. In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad $\hat{f}$ hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad $\hat{f}$ hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk $g(t)=f(t/\lambda )$ b' $\lambda \in ℝ$, imbagħad $\hat{g}(\omega )=\lambda \hat{f}(\lambda \omega )$.

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b'${*}^{}$) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal $f,g\in L^1(ℝ),$

$(f*g)(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-s)g(s)\mathrm{d}s$,

imbagħad ikollna

$\widehat{f*g}=\hat{f}\hat{g}$.

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk $g(t)=-\mathrm{i}tf(t)$ u $f,g\in L^1(ℝ)$, imbagħad $\hat{f}$ hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

${\hat{f}}^{\prime }(\omega )=\hat{g}(\omega ).$

Jekk vice versa $f\in L^1(ℝ)$ hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, $f^{\prime }\in L^1(ℝ)$, imbagħad it-trasformata tad-derivata hi $\widehat{f^{\prime }}(\omega )=i\omega \hat{f}(\omega )$. Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli $u\in L^1({ℝ}^n)$. Jekk $\hat{u}=ℱ\{u\}$, imbagħad:

1. $\hat{u}\in C^0({ℝ}^n)\cap L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$
2. ${\Vert \hat{u}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}\le {\Vert u\Vert }_{L^1({ℝ}^n)}$
3. $\underset{\Vert \mathit{\xi }\Vert \to \mathrm{\infty }}{\lim }\hat{u}(\mathit{\xi })=0$

Ara wkoll

• Serje ta' Fourier
• Analisi ta' Fourier
• Trasformata ta' Laplace

Biblijografija

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Mudell:ISBN