Sistema dinamika

Attrattur ċikliku simmetriku ta' Thomas

Fil-fiżika, matematika u l-inġinerija, u b'mod artikolari fit-teorija tas-sistemi, sistema dinamika hi mudell matematiku li jirrappreżenta oġġett (sistema) b'numru finit ta' gradi ta' libetà li jevolvi fiż-żmien skont liġi deterministika; tipikament sistema dinamika tiġi rappreżentata b'ekwazzjoni differenzjali u hi identifikata ma' vettur fl-ispazju tal-fażi, l-ispazju tal-istati tas-sistema, fejn "stat" hu terminu li jindika is-sett tal-grandezzi fiżiċi, imsejħin varjabbli tal-istat li l-valuri effettivi tiegħu "jiddeskrivu" is-sistem f'ċertu mument.

Deskrizzjoni

Illustrazzjoni skematika ta' rappreżentazzjoni ġeometrika ta' sistema dinamika

L-istudju tas-sistemi dinamiċi jirrappreżenta wieħed mill-eqdem u l-iktar oqsma importanti tal-matematika u l-fiżika; huwa mudell matematiku użat biex jiddeskrivi s-sistemi mekkaniċi fil-kuntest tal-mekkanika klassika u fir-riformulazzjoni tagħha żviluppata fill-mekkanika Lagrangejana u fil-mekkanika Hamiltonjana, u li hija preżenti f'ħafna oqsma tal-inġinerija, bħall-awtomazzjoni u l-inġinerija tas-sistemi. L-applikazzjonijiet huma ħafna, u jvarjaw minn ċirkwiti elettriċi għal sistemi termodinamiċi.

Fl-aħħar tas-seklu dsatax, Henri Poincaré osserva l-possibbiltà ta’ mġiba irregolari ħafna f'xi sistemi dinamiċi meta studja l-problema ta' tliet korpi. Fis-snin 50 tas-seklu ta' wara, wara l-esperimenti numeriċi tal-meteorologu Edward Lorenz, li waqt li kien qiegħed jistudja l-atmosfera tad-dinja sab dipendenza sensittiva fuq il-kundizzjonijiet inizjali, ir-riżultati ta' Poincaré ġew ikkunsidrati b'ħafna serjetà mill-komunità xjentifika u stabbilew il-pedamenti għat-teorija tal-kaos. L-imġiba kaotika tas-sistemi dinamiċi, li l-formolazzjoni matematiċi tagħhom tista' tkun ta' kumplessità kbira u teħtieġ l-użu tal-kompjuters, instabet f’ħafna u oqsma differenti, fosthom il-bijoloġija u l-ekonomija. Sistema dinamika tista' tiġi definita bħala sistema li l-immudellar matematiku tagħha jista' jiġi espress permezz ta' ekwazzjoni differenzjali (ordinarja jew parzjali). Hemm diversi formaliżmi matematiċi utli għad-deskrizzjoni u l-istudju tagħha kemm fl-oqsma fiżiċi kif ukoll tal-inġinerija.

Jistgħu jiġu identifikati żewġ tipi ta' sistema dinamika:

• jekk l-evoluzzjoni sseħħ f'intervalli ta' ħin diskreti, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika diskreta u hija definita bl-iterazzjoni ta' funzjoni;

• jekk l-evoluzzjoni tkun kontinwa u definita b'ekwazzjoni differenzjali, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika kontinwa.

Fost is-sistemi dinamiċi, dawk linjari huma ta' importanza partikolari billi huma l-aktar sempliċi biex jiġu analizzati waqt li l-ekwazzjonijiet mhux lineari ġeneralment ma jistgħux jiġu solvuti eżattament. Fost is-sistemi linjari, is-sistemi linjari invarjanti mal-ħin jintużaw ħafna fit-teorija tas-sinjali u fit-teorija tal-kontroll. Waħda mill-karatteristiċi tas-sistemi dinamiċi li hija studjata ħafna hija l-istabbiltà, Pereżempju, sikwit tiġi studjata l-istabbiltà f'termini ta' kemm l-informazzjoni tal-ħruġ tinfirex imqabbla ma' tad-dħul (stabbiltà esterna), jew f'termini ta' kemm l-istat ta' sistema jitbiegħed minn stat ta' ekwilibriju (stabbiltà interna). Sabiex tiġi analizzata matematikament l-imġiba ta' sistema dinamika, jintużaw prinċipalment żewġ tipi ta' deskrizzjoni, ir-rappreżentazzjoni fl-ispazju tal-istat u l-formaliżmu tad-dominju tal-frekwenzi (ara l-funzjoni tat-trasferiment fil-każ ta' sistemi stazzjonarji).

Definizzjoni

Speċifikament, għal kull $t$ nistgħu niddefinixxu $\mathrm{\Phi }$ li tobdi:

$\mathrm{\Phi }(0,x)=x,$

$\mathrm{\Phi }(t_1,x)\circ \mathrm{\Phi }(t_2,x)=\mathrm{\Phi }(t_1,\mathrm{\Phi }(t_2,x))=\mathrm{\Phi }(t_1+t_2,x)t_1,t_2,t_1+t_2\in I(x),$

fejn:

$I(x)=\{t\in T:(t,x)\in U\}.$

Dan juri l-fatt li l-liġi tal-evoluzzjoni $\mathrm{\Phi }$ tas-sistema ma tinbidilx hi stess mal-ħin. Il-funzjonijiet $\mathrm{\Phi }(t,x)$ ipparametrizzati minn $t$, bil-liġi ta' kompożizzjoni $\mathrm{\Phi }(t_1,x)\circ \mathrm{\Phi }(t_2,x)$, jiffurmaw grupp kommutattiv b'parametru wieħed. Sikwit fil-każ diskret, $T$ tikkoinċidi ma' $\mathbb{Z}$, waqt li fil-każ kontinwu, $T$ tikkoinċidi ma' $ℝ$.

Il-grafiku ta' $\mathrm{\Phi }$ hu t-trajettorja tas-sistema fil-ħin u s-sett:

${\gamma }_{x_0}:=\{\mathrm{\Phi }(t,x_0):t\in I(x_0)\},$

hu l-orbita li tgħaddi minn $x_0$.

Sottosett $S\subset M$ jissejjaħ $\mathrm{\Phi }$-invarjant jekk:

$\mathrm{\Phi }(t,x)\in S\mathrm{\forall }x\in S\mathrm{\forall }t\in T.$

B'mod partikolari, biex $S$ ikun invarjanti irridu nivverifikaw li $I(x)=T$ għal kull $x\in S$.

Allura għandna id-definizzjoni li ġejja: Jekk $U$ jkun varjetà differenzjali $n$-dimensjonali, b'$n$ finit, u $\mathrm{\Phi }=\{{\mathrm{\Phi }}^t,t\in T\}$ grupp ta' diffeomorfiżmi ta' mapep regolari ${\mathrm{\Phi }}^t:U\to U$, imbagħad il-koppja $(U,\mathrm{\Phi })$ tissejjaħ sistema dinamika regolari invertibbli (kontinwa jekk $T=ℝ$ jew diskreta jekk $T=\mathbb{Z}$ inkella $T=\mathbb{N}$).

Sistemi fiżiċi

Id-dinamika tas-sistemi fiżiċi tista' tiġi karatterizzata mill-fatt li l-mozzjoni tagħhom bejn żewġ punti ta' koordinati ġeneralizzati $𝐪(t_1)$ e $𝐪(t_2)$ timxi ma' triq li tagħmel stazzjonarja, jiġifieri mingħajr varjazzjoni, il-funzjoni tal-azzjoni:

$\delta 𝒜=0,$

skont il-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (il-Prinċipju varjazzjonali ta' Hamilton). L-azzjoni hi l-integral fil-ħin tal-Lagrangejana $ℒ(\dot{𝐪},𝐪,t)$:

$𝒜=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ\mathrm{d}t,$

fejn $ℒ\in {𝒞}^2[t_1,t_2]$. Nistgħu nuru li $ℒ$ definita hekk tissosisfa l-Equazzjoni ta' Euler-Lagrange:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐪}=0$

fejn $\dot{𝐪}=\dot{𝐪}(𝐩,𝐪,t)$. Meta nagħmlu l-azzjoni stazzjonarja nkunu qegħdin nimminimizzaw l-enerġija tas-sistema kkunsidrata. L-enerġija totali tas-sistema hi funzjoni $\mathscr{H}=\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$, imsejħa l-Hamiltonjana u introdotta fl-1835 minn William Rowan Hamilton, li tiddipendi mill-koordinati ġeneralizzati $𝐪$ u mill-momenti konjugati rispettivi:

$p_j=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}ℒ(\dot{𝐪},𝐪,t)⟹𝐩=\frac{\partial }{\partial \dot{𝐪}}ℒ(\dot{𝐪},𝐪,t)$

Il-Hamiltonjana hi s-somma $\mathscr{H}=T+V$ tal-enerġija kinetika $T$ u l-enerġija potenzjali $V$ tas-sistema, u hi t-Trasformata ta' Legendre tal-Lagrangejana $ℒ$:

$\mathscr{H}(𝐩,𝐪,t)=𝐩\cdot \dot{𝐪}-ℒ(\dot{𝐪},𝐪,t)$

fejn $\dot{𝐪}=\dot{𝐪}(𝐩,𝐪,t)$. Il-formalizzazzjoni ta' problema dinamika permezz tal-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (validu għal sistemi olonomi u monogeniċi) hi l-bażi tar-riformulazzjoni tal-Mekkanika Klassika żviluppata mill-Mekkanika Hamiltonjana u Lagrangejana.

Fil-każ partikulari tal-Ekwazzjonijiet ta' Hamilton:

$\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐪}\frac{\mathrm{d}𝐪}{\mathrm{d}t}=+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐩},$

huma ekwivalenti għall-ekwazzjonijiet tal-mozzjoni ta' di Eulero-Lagrange, li mbagħad dawn huma ekwivalenti għall-Liġi ta' Newton.

Il-Prinċipju tal-Konservazzjoni tal-Enerġija jiġi espress, f'dal-kuntest, billi ngħidu li $\mathscr{H}$ hu integral tal-ewwel tal-ekwazzjonijiet ta' Hamilton, jew bil-fatt li l-Lagrangejana ma tiddependix espliċitament mill-ħin:

$\frac{d\mathscr{H}}{dt}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}=0.$

Eżempju

Fil-Mekkanika Klassika nsibu eżempju elementari ta' sistema dinamika, punt li jimxi fl-ispazju. Il-punt jiġi karatterizzat kompletament mill-pożizzjoni tiegħu $r(t)$ (vettur dipendenti minn $t\in ℝ$) u tal-veloċità tiegħu $v(t)=\dot{r}(t)=dr/dt$. L-istat ta' din is-sistema hu il-vettur $(r(t),v(t))\in {ℝ}^n$, fejn ${ℝ}^n$ hu l-ispazju tal-istati użat u l-elementi tiegħu jirrappreżentaw l-istati kollha possibbli li s-sistema jista' jkollha. L-ispazju tal-istati jissejjaħ ukoll l-ispazju tal-fażi. L-evoluzzjoni temporali tal-punt allura jingħata miż-żewġ derivati:

$\dot{r}(t)=v(t),\ddot{r}(t)=\dot{v}(t)=a,$

fejn $a$ hi l-aċċelerazzjoni tal-punt (li tiddependi mis-somma totali tal-forzi li hi suġġetta għalihom). Jekk niddefinixxu:

$x(t)=(r(t),v(t)),$

il-mozzjoni tal-punt tista' tinkiteb bħala l-ekwazzjoni ordinarja awtonoma:

$\dot{x}(t)=f(x(t))$

Jekk nagħżlu punt u veloċità tal-bidu $x_0=(r_0,v_0)$, jiġifieri nieħdu $x(t=0)\equiv x_0$, niksbu l-evoluzzjoni tas-sistema li tibda minn $x_0$ (Problema ta' Cauchy għall-ekwazzjoni differenzjali).

Is-sistemi dinamiċi ta' ħin kontinwu kollha jistgħu jinkitbu b'mod analogu, b'$f$ li tista' tiddependi mill-ħin:$\dot{x}(t)=f(x(t),t)x\in {ℝ}^n,$

fejn$f:{ℝ}^n\times ℝ\to {ℝ}^n$ hi funzjoni li mill-inqas hi differenzjabbli.

Is-soluzzjoni $(x_0,t)$ meta tvarja $t$ hi t-traettorja (orbita) li timxi magħha s-sisitema fl-ispazju tal-fażi jekk titlaq minn $x_0$. Meta nkunu nlestu biex nistudjaw formalment sistema dinamika, nagħmlu hekk b'mod li l-funzjoni $f$ tkun regolari biżżejjed biex tagħtina soluzzjoni unika, bi qbil mal-fatt li l-evoluzzjoni ta' sistema li titlaq minn punt mogħti hi unika. Inġenerali sistema dinamika $(T,M,\mathrm{\Phi })$ hi definita minn grupp (jew semigrupp) $T$, li hu s-sett tal-valuri tal-parametru tal-ħin, u sett $M$, imsejjaħ l-ispazju tal-fażi jew l-ispazju tal-istati. Il-funzjoni tal-evoluzzjoni temporali (il-fluss) $\mathrm{\Phi }:U\subset T\times M\to M$ tiddetermina l-azzjoni ta' $T$ fuq $M$. Fit-teorija ergodika $M$ hu spazju miżurabbli b'miżura ta' probabbiltà $\mu$ u $\mathrm{\Phi }$ hi funzjoni miżurabbli li tippreżerva l-$\mu$, waqt li f'dik li tissejjaħ topoloġija dinamika $M$ hi spazju topoloġiku komplet u $\mathrm{\Phi }$ hi funzjoni kontinwa (spiss anke invertibbli).

Eżempji tipiċi ta' sistemi dinamiċi kontinwi:

• is-sistema priża-predatur ta' Volterra-Lotka għad-dinamika tal-popolazzjonijiet;
• is-sistema ta' Lorenz għall-evoluzzjoni tal-kundizzjonijiet meteoroloġiċi.

Eżempji ta' sistemi dinamiċi diskreti:

• il-mappa loġistika;
• il-mappa ta' Hénon;
• il-mappa standard.