Derivata

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni $f$ f' punt $x_0$ hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt $(x_0,f(x_0))$, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' $x$. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali $f$ fil-punt $x_0$ hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement $h$ jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni $f$ definita f'inħawija ta' $x_0$ ngħidu li hi derivabbli fil-punt $x_0$ jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'$f^{\prime }(x_0)$, ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt $x_0$. Jekk il-funzjoni $f$ hi derivabbli f'kull punt tal-intervall $(a,b)$, ngħidu li hi derivabbli f'$(a,b)$, u l- funzjoni $f^{\prime }$ li tassoċja ma' kull punt $x$ id-derivata ta' $f$ f' $x$, insejħulha l-funzjoni derivata ta' $f$.

Id-derivata fil-punt $x_0$ nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

• $f^{\prime }(x_0),$ skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

• $\mathrm{D}[f(x_0)],$ skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

• $\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x,}$ skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi $(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}{)}_{(x_0)},$ .

• $\dot{f}(x_0),$ skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' $f$ f'$x_0$ il-limitu:

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' $f$ f'$x_0$ il-limitu:

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Funzjoni hi derivabbli f'$x$ jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk $f$ hi definita f'l-intervall magħluq $[a,b]$, ngħidu li $f$ hi derivabbli f'$[a,b]$ jekk hi derivabbli f'kull punt intern $x$ ta' $(a,b)$, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf $x=a$ u $x=b$.

Tifsira ġometrika tad-derivata

Stampa:Derivata.jpg

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x₀

Il-valur tad-derivata ta' $f$ ikkalkulat f'$x_0$ għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' $f$, fil-punt bil-koordinati $(x_0,f(x_0))$.

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt $(x_0,f(x_0))$ tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'$x_0$ hija:

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Iżjed preċiż, jekk $f$ hi derivabbli fil-punt $x_0$, teżisti funzjoni $o(x-x_0)$ definita f'inħawija ta' $x_0$ tali li:

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$

fejn

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}=0.$

Ngħidu li $o(x-x_0)$ hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni $x-x_0$. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini $o(x-x_0)$ jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn $x_0$.

Niddefinixxu $o(x-x_0)$ b'l-istess dominju ta' $f$, bħala:

$o(x-x_0)=f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

u nivverifikaw li:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f^{\prime }(x_0)).(1)$

Niftakru li għal :$x\to x_0$ għandna :$x-x_0\to 0$ mela :$h=x-x_0.$

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f^{\prime }(x_0)=0$

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk $f$ tkun derivabbli f'$x_0$ imbagħad tkun ukoll kontinwa f'$x_0$.

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni $f(x)=|x|$ hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt $x=0$, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$

minn fejn niksbu:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f(x_0)).$

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'$x_0$.

Funzjonijiet mhux derivabbli

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

• punt angoluż,
• kuspidi jew qarsa,
• fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L-$n$-il Derivata

L-"$n$ -il derivata", $f^{(n)}$, ta' funzjoni $f$ hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni $n$ darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

$f^{″}=f^{(2)}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2},$

$f^{‴}=f^{(3)}=\frac{{\mathrm{d}}^{3}f}{\mathrm{d}{x}^3},$,

...

$f^{(n)}=\frac{{\mathrm{d}}^{n}f}{\mathrm{d}{x}^n}$

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli $n$-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

$f(x)=x|x|.$

Infatti id-derivata ta' $f$ hi $f{}^{\prime }(x)=2|x|$, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt $x$ fejn $f^{\prime }(x)$ hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

• hu neċessarju li $x_0$ tkun punt ġewwieni tad-dominju
• il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt $x_0$, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li $x_0$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f(x_0)$ hu valur massimu tal-funzjoni f' $(a,b)$; il-prova hija l-istess fil-każ li $x_0$ jkun punt ta' minimu għal $f$.
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$
In-numeratur $f(x)-f(x_0)\le 0\mathrm{\forall }x\in (a,b)$ għaliex, bl-ipoteżi, $x_0$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f(x_0)\ge f(x)\mathrm{\forall }x\in (a,b)$.

Mela nistgħu ngħidu li :

• $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\ge 0$ jekk $x<x_0$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  
• $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\le 0$ jekk $x>x_0$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.
  

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li:

• $f^{\prime }(x_0^{-})=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\ge 0,$
  
• $f^{\prime }(x_0^{+})=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\le 0.$
  

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni $f$ hi derivabbli f' $x_0$ u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'$x_0$ jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin $\le 0$ u $\ge 0$, u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Lagrange

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, $(x_0,f(x_0))$, fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti $(a,f(a))$ u $(b,f(b))$.

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn $f(a)$ hi differenti minn $f(b)$; jekk $f(a)$ hi daqs $f(b)$ nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy

Mudell:Matematika Jekk inpoġġu $g(x)=x$, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

• Jekk $\mathrm{\forall }x\in (a,b)f^{\prime }(x)>0$, il-funzjoni tiżdied strettament f' $(a,b)$

• Jekk $\mathrm{\forall }x\in (a,b)f^{\prime }(x)<0$, il-funzjoni tonqos strettament f' $(a,b)$

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

$f(x)=x^3$

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt $x$ jekk jeżisti u hu finit il-limitu

${𝐟}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐟(x+h)-𝐟(x)}{h}.$

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' $f$ hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

${𝐟}^{\prime }(x)=(f{\text{'}}_1(x),f{\text{'}}_2(x),...,f{\text{'}}_n(x))$.

Derivabbiltà f'${ℝ}^{\mathrm{n}}$

Funzjoni $f$ ngħidulha derivabbli f'${ℝ}^{\mathrm{n}}$ jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità

Ħalli $f:[a,b]\to ℝ$ tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni $f$ hi:

• konvessa f' $[a,b]$ jekk $\mathrm{\forall }{x}_0\in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $[a,b]$ jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt $(x_0,f(x_0))$.

Bis-simboli:

$f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x)(x-x_0)\mathrm{\forall }x,x_0\in [a,b].$

• konkava f' $[a,b]$ jekk $\mathrm{\forall }{x}_0\in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $[a,b]$ jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt $(x_0,f(x_0))$.

Bis-simboli:

$f(x)\le f(x_0)+f^{\prime }(x)(x-x_0)\mathrm{\forall }x,x_0\in [a,b].$

Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ b' raġġ ta' konvergenza $r$, hi derivabbli fuq l-intervall $(-r,r)$ kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur $\partial$ li jissodisfa:

• $\partial (u+v)=\partial u+\partial v$ (l-operazzjoni hi linjari)
• $\partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v$ (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.