Lemma ta’ Borel-Cantelli

Il-Lemma ta' Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma hi msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

Prova

Bil-monotonija ta' $\mu$, għandna

$\mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_n\right)=\mu \left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{S}_i\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu \left(\bigcup _{i>n}{S}_i\right).$

Issa bis-subadditività:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu \left(\bigcup _{i>n}{S}_i\right)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}\mu (S_i).$

Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' serje konverġenti, għandna

$\mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_n\right)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}\mu (S_i)=0.$

In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathrm{P})$, għal suċċessjoni ta' ġrajjiet $\{E_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, għandna:

$(1)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{P}(E_n)\in ℝ\Rightarrow \mathrm{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)=0.$

Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):

$(2)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{P}(E_n)=\mathrm{\infty }$ u $E_n$ huma indipendenti $\Rightarrow \mathrm{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_n\right)=1.$

Prova ta' l-asserzjoni 2

$\mathrm{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}\left(\bigcup _{i\ge n}{E}_i\right);$

$\mathrm{P}\left(\bigcup _{i\ge n}{E}_i\right)=1-\mathrm{P}\left(\bigcap _{i\ge n}\overline{E_i}\right)=1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}\left(\bigcap _{i=n}^k\overline{E_i}\right).$

Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza $e^{-x}\ge 1-x$;

$1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}\left(\bigcap _{i=n}^k\overline{E_i}\right)=1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\prod _{i=n}^k\mathrm{P}(\overline{E_i}))=1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\prod _{i=n}^k(1-\mathrm{P}(E_i))\right)\ge 1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=n}^k{e}^{-\mathrm{P}(E_i)}$

$=1-\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-\sum _{i=n}^k\mathrm{P}(E_i)}=1,$

billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:

$\mathrm{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }1=1\Rightarrow \mathrm{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)=1$

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

Ħoloq esterni

• Prova fuq Planet Math