Diżugwaljanza ta' Čebyšëv

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.) $X$ għandha medja (aritmetika) $\mu$ u varjanza ${\sigma }^2$ u $\lambda$ hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li $X$ tieħu valur bejn $\mu -\lambda \sigma$ u $\mu +\lambda \sigma$ hi ikbar minn $1-1/{\lambda }^2$:

$\mathrm{P}(\mu -\lambda \sigma \le X\le \mu +\lambda \sigma )\ge 1-\frac{1}{{\lambda }^2}.$

F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn $\lambda$ darbiet id-devjazzjoni standard, hi $1/{\lambda }^2$:

$\mathrm{P}(|X-\mu |\ge \lambda \sigma )\le \frac{1}{{\lambda }^2}.$

Pereżempju jekk nieħdu $\lambda =\sqrt{2}$ naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall $(\mu -\sqrt{2}\sigma ,\mu +\sqrt{2}\sigma )$. Ninnotaw li fil-każ $\lambda >1$ biss ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull $\lambda >1$, dan l-eżempju (fejn $\sigma =1/\lambda$) jilħaq il-limiti eżattament.

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(X=-1)& =1/(2{\lambda }^2),\\ \mathrm{P}(X=0)& =1-1/{\lambda }^2,\\ \mathrm{P}(X=1)& =1/(2{\lambda }^2).\end{array}$

Għal din id-distribużżjoni,

$\mathrm{P}(|X-\mu |\ge \lambda \sigma )=1/{\lambda }^2.$

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu tal-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas $100(1-1/{\lambda }^2)$ fil-mija tal-valuri huma bejn $\mu -\lambda \sigma$ u $\mu +\lambda \sigma$. Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

• mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn $\mu -2\sigma$ u $\mu +2\sigma ,$
• mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn $\mu -3\sigma$ u $\mu +3\sigma ,$
• mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn $\mu -4\sigma$ u $\mu +4\sigma .$

Prova

Għal kull ġrajja $A$, ħalli $I_A$ tkun il-v.k. indikatriċi ta' $A$, jiġifieri $I_A$ tiswa 1 jekk $A$ tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(|X-\mu |\ge k\sigma )& =\mathrm{E}(I_{|X-\mu |\ge k\sigma })=\mathrm{E}(I_{[(X-\mu )/(k\sigma ){]}^2\ge 1})\\ & \le \mathrm{E}\left({\left(\frac{X-\mu }{k\sigma }\right)}^2\right)=\frac{1}{k^2}\frac{\mathrm{E}((X-\mu {)}^2)}{{\sigma }^2}=\frac{1}{k^2}.\end{array}$

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b' $[(X-\mu )/(k\sigma ){]}^2$ meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.