Analisi komplessa

L-Analisi komplessa (jew iżjed preċiż, it-teorija tal-funzjonijiet ta’ varjabbli komplessi) hi dik il-fergħa ta’ l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal-kalkulu infiniteżmali għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala dominju u kodominju settijiet ta’ numri komplessi.

Il-kunċett ewlieni tal-analisi komplessa hi l-funzjoni olomorfa: din hi funzjoni komplessa mgħammra b’nozzjoni ta’ derivata, fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il-funzjoni meromorfa hi estensjoni ta’ dan il-kunċett.

Rappreżentazzjoni tal-funzjoni komplessa:
$f(z)=(z^2-1)(z-2-2i)/$$(z^2+2+2i).$ It-tonalità tirrappreżenta l-argument tal-funzjoni, waqt li l-intensità tirrappreżenta il-modulu.

L-analisi komplessa hi utli ħafna f’bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-ġometrija alġebrija; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika.

Funzjonijiet olomorfi

Definizzjoni

L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal-kalkulu infiniteżmali għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-pjan kompless, mgħammar bit-topoloġija ewklideja tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq suċċessjonijiet, fuq limiti, fuq settijiet miftuħin u magħluqin fil-pjan.

L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet

$f:A\to ℂ$

definiti fuq sett miftuħ $A$ tal-pjan kompless $ℂ$, b’valuri komplessi. B’mod analogu għal kollox ma’ dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’punt jekk ir-rapport inkrementali għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’kull punt ta’ $A$, ngħidulha funzjoni olomorfa.

Relazzjoni mad-differenzjabbiltà

Bl-użu tal-identifikazzjoni ta’ $ℂ$ ma’ ${ℝ}^2$, il-funzjoni $f$ nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta’ ${ℝ}^2$ għal ${ℝ}^2$. Funzjoni derivabbli f’sens kompless hi neċessarjament differenzjabbli jekk ninterpretawha b’dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta’ derivabbiltà f’sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-ekwazzjonijiet ta’ Cauchy-Riemann.

Mapep konformi

Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha mappa konformi: hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn funzjoni linjari, u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta’ omotetji u rotazzjonijiet, it-tnejn operazzjonijiet konformi.

Funzjonijiet armoniċi

Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta’ funzjoni olomorfa huma t-tnejn funzjonijiet armoniċi: xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta’ li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi.

Il-Formula ta’ Cauchy

L-ingredjent ewlieni tal-analisi komplessa, li m’għandux analogu fl-analisi reali , hu il-formula ta’ Cauchy. Dil-formola tagħti relazzjoni bejn il-valur $f(z)$ ta’ funzjoni olomorfa fil-punt $z$ ma’ l-integral ta’ funzjoni mibnija minn $f$ matul kurva sempliċi magħluqa $\mathrm{\Gamma }$ li "iddur" mal-punt $z$:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\cdot {\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{f(z^{\prime })}{z^{\prime }-z}d{z}^{\prime }.$

Mill-formola ta’ Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m’għandhomx analogi fl-ambitu ta’ l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt.

Analitiċità

Funzjoni olomorfa hi dejjem analitika. Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala serje ta’ potenzi. Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza tal-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta’ kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali .

It-teorema ta’ Liouville

Funzjoni olomorfa hi intera jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f’kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta’ potenzi b’raġġ ta’ konvergenza infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it-Teorema ta’ Liouville li tgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistax ikollha modulu limitat fil-pjan.

Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l-arktanġent reali , li huma definiti fuq $ℂ$ kollha imma b’modulu uniformement limitat.

It-teorema tal-modulu massimu

It-Teorema tal-modulu massimu, tgħid li l-modulu $|f(z)|$ ta' funzjoni olomorfa $f$ definita fuq sett miftuħ $A$ ma jistax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju $A$ hu limitat u l-funzjoni $f$ nistgħu nestenduha bil-kontinwità għall-għeluq ta’ $A$, il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer.

Eżempji ta’ funzjonijiet olomorfi

Il-prolungament analitiku ta’ funzjoni analitika matul kurva fil-pjan.

Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba’ operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk $p(z)$ u $q(z)$ huma żewġ polinomi, il-funzjoni

$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$

hi olomorfa fuq is-sett miftuħ $A$ miksub billi nnaħħu minn $ℂ$ il-punti li jikkorrispondu mar-radiċi ta’ $q$.

Il-parti reali tas-senu kompless f'rettanglu fil-pjan.

Kull funzjoni analitika reali testendi b’mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b’mod uniku ngħidulha prolungament analitiku. In partikulari, il-funzjonijiet esponenzjali, tas-senu, u l-funzjonijiet trigonometriċi huma funzjonijiet olomorfi.

L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, minħabba t-Teorema ta’ Liouville il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija surġettiva fuq il-komplessi.

Il-funzjonijiet meromorfi

Singularitajiet iżolati

Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-singularitajiet iżolati. Funzjoni olomorfa

$f:A\setminus \{z_0\}\to ℂ$

definita fuq sett miftuħ $A$, bil-punt intern $z_0$ imneħħi, għandha singularità iżolata f' $z_0$. Dan differenti milli jiġri fil-każ ta’ funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib $z_0$ nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu $|f(z)|$ qrib il-punt:

1. Jekk $|f(z)|$ hu limitat fl-inħawi ta’ $z_0$, is-singularità hi eliminabbli: il-funzjoni testendi bil-kontinwità għall-punt, u l-estensjoni tibqa’ olomorfa.
2. Jekk $|f(z)|$ jersaq lejn l-infinit meta $z$ tersaq lejn $z_0$, is-singularità ngħidulha pol.
3. Fil-każi l-oħra kollha, $|f(z)|$ m’għandiex limitu meta $z$ tersaq lejn $z_0$, u s-singularità ngħidulha essenzjali.

Sfera ta’ Riemann

Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f’$z_0$, din testendi għal funzjoni olomorfa fuq $A$. Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu $f(z_0)=\mathrm{\infty }$. Ir-riżultat ta’ din operazzjoni hi funzjoni ta’ tip ġdid, li ngħidula meromorfa.

Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt $\mathrm{\infty }$, permezz tal-projezzjoni sterjografika. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-isfera, u jgħidulu l-isfera ta’ Riemann. Spiss hu identifikat mall-linja dritta projettiva komplessa ${ℂ\mathbb{P}}^1$. Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari

$f:A\to {ℂ\mathbb{P}}^1.$

B’din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista’ ssir jekk id-dominju, $A$, jkun sett miftuħ ta’ ${ℂ\mathbb{P}}^1$.

Per eżempju (trasformazzjoni ta’ Möbius):

$f(z)=\frac{az+b}{kz+d}$

fejn $a,b,k,d$ huma komplessi u

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ k& d\end{array}\right)\ne 0$

hi funzjoni meromorfa

$f:{ℂ\mathbb{P}}^1\to {ℂ\mathbb{P}}^1.$

Biblijografija

• F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
• H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896)
• J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn & co., Boston, 1914)
• E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915)
• T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917)
• H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913)
• A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918)
• J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert & co., 1898)
• E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922)
• E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn & co. 1916)
• E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn & co. 1916)
• S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952)
• J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
• E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893)

• Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E, Advanced Engineering Mathematics, 9 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2006).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).