Ara s-sors ta' Teorija tan-numri

Tradizzjonalment, '''it-teorija tan-numri''' hi fergħa tal-[[matematika]] li tistudja l-proprjetajiet tan-numri sħaħ jew interi, kemm l-interi naturali u kemm l-interi relattivi, u fiha nsibu ħafna problemi miftuħin li jinftehmu faċilment, anki minn dawk li mhumiex matematiċi. B’mod iżjed ġenerali, din-teorija tħares lejn klassi wiesgħa ta' problemi li joħorġu naturalment mill-istudju tan-numri sħaħ. It-teorija tan-numri għandha post speċjali fil-matematika, minħabba r-rabtiet li għandha ma oqsma oħra u l-interess li jqajmu il-propożizzjonijiet tagħha. Kif qal Jürgen Neukirch<ref>Daħla tal-ktieb ''Algebraische Zahlentheorie''. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1992. ISBN 3-540-54273-6. {{Iċċita|''Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.''}}</ref> :{{Iċċita|''It-teorija tan-numri għandha fost id-dixxiplini matematiċi pożizzjoni idealizzata bħal dik li għandha l-matematika fost ix-xjenzi l-oħra.''}}

It-teorija tan-numri kultant tissejjaħ ukoll "Aritmetika". Dan hu isem antik ħafna li m'għadux popolari daqs li kien. Madankollu għadu jintuża fl-ismijiet ta' xi oqsma tal-matematika (ġeometrija alġebrija aritmetika, l-aritmetika tal-kurbi u superfiċi ellittiċi). Dan is-sens tat-terminu aritmetika m’għandniex inħalltuh mal-fergħa tal-[[loġika]] li tistudja l-aritmetika fis-sens tas-sistemi formali.

It-teorija tan-numri tinqasam f'bosta oqsma ta' studju skont il-metodi li jintużaw u l-problemi trattati.
== Il-friegħi tat-teorija tan-numri ==
=== It-teorija elementari tan-numri ===
F'dal-qasam, nistudjaw l-interi mingħajr l-użu ta' metodi minn oqsma oħra tal-matematika.  Fih insibu il-kwistjonji tad-diviżibbiltà, l-algoritmu ta' Ewklide għall-kalkulazzjoni tal-[[ikbar diviżur komuni]]<ref>L-'''ikbar diviżur komuni''' ('''Ik.D.K.''') ta' żewġ numri interi hu l-ikbar numru naturali li jidħol fihom it-tnejn.</ref>, il-fattorizzazzjoni tal-interi f'[[numri primi]]<ref>'''Numru prim''', jew fil-qosor ''prim'', hu numru naturali ikbar minn wieħed, li hu diviżibbli biss bih stess u b'wieħed. L-interi ''a'' u ''b'' nsejħulhom '''koprimi''' jew '''primi bejniethom''' jekk m'għandhom l-ebda diviżur komuni barra 1 u -1, jiġifieri jekk l-ikbar diviżur komuni hu 1. Pereżempju, 6 u 35 huma koprimi, imma 6 u 27 mhumiex għax3 tidħol fihom it-tnejn.</ref>, it-tfittix għal [[numri perfetti]]<ref name=perf> Numer inter insejħulu '''perfett''' jekk hu daqs is-somma tad-diviżuri kollha tiegħu barra hu nnifsu.

Pereżempju in-numru 6 diviżibbli b'1, 2 u 3 hu perfett. L-istess għan-numru 28, li hu diviżibbli minn 1, 2, 4, 7, 14 :

:6 = 1 + 2 + 3
:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
</ref> u l-[[aritmetika modulari]]<ref>L-'''aritmetika modulari''' hi msejsa fuq il-kunċett ta' '''kongruwenza modulo ''n'' '''.
Mogħtija tliet numri sħaħ ''a'', ''b'', ''n'', b' ''n''&nbsp;≠&nbsp;0, ngħidu li ''a'' u ''b'' huma kongruwenti modulo ''n'' jekk id-differenza bejniethom (''a''&nbsp;−&nbsp;''b'') hi multiplu ta' ''n''. F'dal-każ, niktbu

:<math> a \equiv b \pmod{n} \, </math>

u ngħidu li ''a'' hu ''kongruwu'' ma' ''b'' modulo ''n''. Pereżempju, nistgħu niktbu

:<math> 38 \equiv 14 \pmod{12} \, </math>
 
billi 38 − 14 = 24, li hu multiplu ta' 12. </ref>. Bħala teoremi tipiċi hawn għandna it-'''teorema żgħir ta' Fermat'''<ref>Il It-'''teorema żgħir ta' Fermat''' jgħid li jekk ''p'' hu numru prim, imbagħad għal kull numru sħiħ ''a'':

:<math>a^p \equiv a \pmod{p}\,\!</math>, 
jiġifieri <math>a^p - a </math> hi diviżibbli b' ''p''.</ref> u t-'''teorema ta' Euler'''<ref name=Euler>It-'''teorema ta' Euler''' (msejjaħ ukoll it-''teorema ta' Fermat-Euler'') tgħid li jekk ''n'' hu interu posittiv u ''a'' hu koprim ma' ''n'', imbagħad:
:<math>a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\,\!</math>, 
fejn <math>\phi(n)</math> hi l-'''funzjoni <math>\phi</math> ta' Euler'''. Il-''funzjoni phi ta' Euler'' φ(''n''), msjeħa wkoll il-''funzjoni totjenti'' jew sempliċement il-''funzjoni ta' Euler'' jew it-''totjenti'', hi definita, għal kull interu pożittiv ''n'', bħala n-numru tal-interi posittivi inqas minn ''n'' li huma koprimi ma'  ''n''. Pereżempju, φ(8) = 4 billi n-numri koprimi ma'i 8 huma erbgħa: 1, 3, 5 u 7. </ref>, it-'''teorema Ċiniż tal-bqija'''<ref>Il-formulazzjoni oriġinali tat-'''teorema Ċiniż tal-bqija''', fil-ktieb tas-seklu III mill-matematiku [[Ċina|Ċiniż]] Sun Zu u ppublikata mill-ġdid fl-1247 fil-ktieb ta’ Kin Ġjuxao, tagħti proposta fuq il-kongruwenzi simultanji. Jekk nissoponu li ''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>''k''</sub>  huma numri sħaħ u koprimi tnejn tnejn (jiġifieri l-Ik.D.K. ta' ''n''<sub>''i''</sub> u  ''n''<sub>''j''</sub> hu 1 jekk ''i'' ≠ ''j''), imbagħad nagħżlu kif nagħżlu l-interi
''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>, jeżisti interu ''x'' soluzzjoni tas-sistema ta' kongruwenzi

:<math>x \equiv a_i \pmod{n_i} \quad\mathrm{per}\; i = 1, \ldots, k.</math>


Barra minn hekk, is-soluzzjonijiet kollha ''x'' ta' dan is-sistema huma kongruwenti modulo il-prodott
''n'' = ''n''<sub>1</sub>...''n''<sub>''k''</sub>.
</ref> u l-'''liġi tar-reċiproċità kwadratika'''<ref name=kwad>Il- '''liġi tar-reċiproċità kwadratika''' tagħti kundizzjonijiet għar-riżolvabbiltà ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi modulo numri primi. Din kienet konġettura ta' Euler u Legendre, u ġiet ppruvata minn Gauss fl-1796. Ħalli ''p'' u ''q'' jkunu żewġ numri primi differenti u l-ebda wieħed minnhom hu 2. Dan ifisser li ''p'' u ''q'' huma kongruwi ma' 1 jew ma' 3 (mod 4). Jekk almenu wieħed minnhom hu kongruwu ma' 1 mod 4, allura il-kongruwenza

:<math>x^2\equiv p\ ({\rm mod}\ q)</math>

għandha soluzzjoni ''x'' jekk u biss jekk il-kongruwenza

:<math>y^2\equiv q\ ({\rm mod}\ p)</math>

għandha soluzzjoni ''y''. Jekk minflok iż-zewġ numri primi huma kongruwi ma' 3 mod 4, allura il-kongruwenza

:<math>x^2\equiv p\ ({\rm mod}\ q)</math>

għandha soluzzjoni ''x'' jekk u biss jekk il-kongruwenza

:<math>y^2\equiv q\ ({\rm mod}\ p)</math>

'''m'għandha l-ebda''' soluzzjoni.
</ref>. Nistudjaw ukoll il-proprjetajiet tal-'''funzjonijiet multiplikattivi'''<ref>'''Funzjoni multiplikattiva''' ''f'' hi funzjoni fuq l-integri pożittivi bil-proprjetà li ''f''(1) = 1 u kull meta ''a'' u ''b'' jkunu koprimi:''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'').</ref> bħall-'''funzjoni ta' Möbius'''<ref>Il-'''funzjoni ta' Möbius''' <math>\mu(n)\,\!</math> hi definite għall-interi pożitivi kollha bħala :

* <math>\mu(1)=1\,\!</math>,
* <math>\mu(n)=(-1)^k\,\!</math> jekk <math>n\,\!</math> hu l-prodott ta' <math>k\,\!</math> numri primi distinti,
* <math>\mu(n)=0\,\!</math> jekk <math>n\,\!</math> fih fattur kwadrat.

Pereżempju :
* <math>10=2\times 5\,\!</math>, mela <math>\mu(10)=1\,\!</math>,
* <math>11\,\!</math> hu prim, mela <math>\mu(11)=-1\,\!</math>,
* <math>12=2^2\times 3\,\!</math>, mela <math>\mu(12)=0\,\!</math>.</ref>
u l-'''funzjoni φ ta' Euler'''<ref name=Euler/> kif ukoll is-suċċessjonijiet ta' interi bħall-fattorjali u n-[[numri ta' Fibonacci]]<ref>Is-'''suċċessjoni ta' Fibonacci''' hi sekwenza ta' numri sħaħ naturali li tinkiseb billi nagħtu l-valuri tal-ewwel żewġ  termini, ''F''<sub>0</sub>:= 0 u ''F''<sub>1</sub>:= 1, u neħtieġu li kull wieħed wara jissodisfa ''F''<sub>''n''</sub> := ''F''<sub>''n''-1</sub> + ''F''<sub>''n''-2</sub>. 
L-isem tas-sekwenza ġej mill-matematiku tas-seklu XIII, [[Leonardo Fibonacci]] minn Pisa u t-termini ta' din is-suċċessjoni nsejħulhom '''numri ta' Fibonacci'''. L-intenzjoni ta' Fibonacci kienet li jsib liġi li tiddeskrivi l-kobor tal-popolazzjoni tal-fniek.</ref>.

Ħafna problemi fit-teorija elementari tan-numri jidhru ħfief imma jeħtieġu ħsieb profond u approċċi ġodda, bħal dawn li ġejjin : 
* Il-'''konġettura ta’ Goldbach''' li tgħid li kull numru żewġ jista' jinkiteb bħala s-somma ta' żewġ primi; 
* Il-'''konġettura tan-numri primi tewmin'''<ref> '''Numri primi tewmin''' huma żewg numri primi li d-differenza bejniethom hi tnejn. Nagħmlu eċċezzjoni għall-koppja (2, 3). Dawn huma xi eżempji ta’ primi tewmin: 5 u 7, 11 u 13, u 821 u 823. </ref> li tgħid li hemm infinità ta' numri primi tewmin;
* Il-'''konġettura ta' Siracusa''' (jew ta' Collatz jew ta' Ulam) tgħid li jekk nieħdu numru sħiħ ''n'' ikbar minn 0, u jekk ''n'' hu żewġ, nieħdu n-nofs tiegħu (''n/2''), inkella nieħdu t-"tripplu u wieħed" u jkollna 3''n''+1. Il-konġettura hi li għan-numri kollha il-proċess jikkonverġi għal 1;
* It-'''teorema ta' Matiyasevich''' wera li t-teorija tal- [[ekwazzjoni diofanteja|ekwazzjonijiet diofantej]] hi ''indeċidibbli''.

=== It-teorija analitika tan-numri ===
It-teorija analitika tan-numri  tuża l-mekkaniżmi tal-[[kalkulu infiniteżmali]] u tal- [[analisi komplessa]] biex tħares lejn problemi fuq in-numri interi. Fost l-eżempji hemm it-'''teorema tan-numri primi'''<ref name=np>It-'''teorema tan-numri primi''' tiddeskrivi id-distribuzzjoni approssimata, asintotika tan-numri primi. Għal kull numru reali pożittiv ''x'', niddefinixxu l-funzjoni:

:<math>\pi(x) </math> = numru tal-primi iżgħar jew daqs <math> x</math> 

It-teorema tan-numri primi jgħid li:

:<math>\pi(x)\approx\frac{x}{\ln(x)}</math>

fejn ln(''x'') hu l-logaritmu naturali ta' ''x''.</ref> u l-[[ipoteżi ta' Riemann]] li hi marbuta magħha. Anki problemi tat-teoria elementari tan-numri bħall-'''problema ta’ Waring''' (rappreżentazzjoni ta' numru mogħti bħala somma ta' kwadrati, kubi, etc.), il-'''konġettura tan-numri primi tewmin''' u l-'''konġettura ta' Goldbach''' nistgħu nattakkawhom b'metodi analitiċi. Il-prova tat-traxxendenza<ref name=trax>'''Numru traxxendenti''' hu numru irrazzjonali li mhuwiex numru alġebri, jiġifieri m'hu s-soluzzjoni ta' ebda ekwazzjoni polinomjali tal-forma:

: <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>

fejn ''n'' ≥ 1 u l-koefficjenti ''a<sub>i</sub>'' huma numri interi.</ref> tal-kostanti matematiċi, bħal π jew ''e'' ukoll nistgħu inqisuhom parti mit-teorija tan-numri analitika. Waqt li proprjetajiet tan-numri traxxendenti<ref name=trax/> ma jidhrux li għandhom x'jaqsmu man-numri interi, fil-fatti nistudjaw nkunu qegħdin infittxu l-possibbiltà li ċerti numri jiġu rappreżentati bħala radiċi ta' polinomju b'koeffiċjenti interi; in-numri traxxendenti għandhom rabta qawwija mal-'''approssimazzjoni Diofanteja''', li tistudja l-preċiżjoni li biha nistgħu napprossimaw numru reali mogħti b'numru razzjonali.

=== It-teorija alġebrija tan-numri ===
Hawn il-kunċett ta' numru jiġi ġeneralizzat għal dak ta' '''numru alġebri''' li hu r-radiċi ta' polinomju b’koefficjenti interi. Dawn id-dominji fihom l-elementi analogi għall-interi, imsejħin '''interi alġebrin'''. F'dan l-ambjent jista' jkun li proprjetajiet tas-soltu tan-numri sħaħ (bħall-uniċità tal-fattorizzazzjoni) ma jibqgħux iżjed validi. Il-qawwa tal-metodi użati -- teorija ta' Galois, koomologija tal-kampi, teorija tal-kampi tal-klassijiet, rappreżentazzjonijiet tal-gruppi u l-funzjoni L – hi hekk li biha nerġgħu insibu ordni fuq din il-klassi ġdida ta' numri.

Ħafna problemi tat-teorija tan-numri nistgħu nattakkawhom iżjed faċilment billi nistudjawhom ''modulo p'' għall-primi kollha ''p''. Dan il-metodu hu jissejjaħ ''lokalizzazzjoni'' u jwassal għall-bini tan-numri p-adiċi u dan il-qasam ta' studji li ħareġ mit-teorija tan-numri alġebrija jissejjaħ ''analisi lokali''.

=== It-teorija ġeometrika tan-numri ===
It-teorija ġeometrika tan-numri tgħaqqad fiha xi kunċetti bażiċi ġeometriċi ma' problemi tat-teorija tan-numri. Tibda bit-[[teorema ta' Minkowski]] fuq il-punti retikolari fis-settijiet konvessi u l-istudju tal-ippakkjar tal-isferi. Spiss tintuża wkoll il-ġeometrija alġebrija, speċjalment it-teorija tal-kurvi ellittiċi. It-teorema famuż, '''l-aħħar teorema ta' Fermat'''<ref name=Fermat>'''L-aħħar Teorema ta' Fermat''' tgħid li ma jeżiztux soluzzjonijiet interi pożittivi għall-ekwazzjoni:

:<math>a^n + b^n = c^n \,\!</math> 
jekk <math>n > 2 </math>.

L-ipoteżi kienet ifformulata minn [[Pierre de Fermat]] fl-1637. Hu ma tagħx prova u l-ipoteżi damet bla prova għal żmien twil. Fl-aħħar ġiet ippruvata fl-1995 minn Andrew Wiles.</ref>
, ġiet ippruvata bl-użu ta' dawn il-metodi.

=== It-teorija kombinatorja tan-numri ===
It-teorija kombinatorja tan-numri tittratta problemi tat-teorija tan-numri fejn jidħlu ideat kombinatorji fil-formulazzjoni jew soluzzjoni tagħhom. [[Paul Erdős]] kien il-fundatur ewlieni ta' din il-fergħa tat-teorija tan-numri. Fost is-suġġetti tipiċi hemm is-'''sistemi għattejja'''<ref>'''Sistema għattej''' hu ġabra 

:<math>\{a_1(\mathrm{mod}\ {n_1}),\ \ldots,\ a_k(\mathrm{mod}\ {n_k})\}</math>

ta' numru finit ta' klassijiet tal-bqija <math> a_i(\mathrm{mod}\ {n_i}) = \{ a_i + n_ix:\ x \in \Z \} </math>
li l-unjoni tagħhom ''tgħatti'' l-integri kollha.</ref>, '''problemi tas-somma żero'''<ref>Il-'''problemi tas-somma żero''' hi klassi ta'  problemi kombinatorji. In ġenerali, nikkunsidraw grupp finit abeljan ''G''. Il-problema tas-somma żero għall-integru ''n'' hi din: Sib l-iċken integru ''k'' biex kull suċċessjoni ta' elementi ta' ''G'' ta' tul ''k'' jkun fiha ''n'' termini li s-somma tagħhom hi 0.</ref>, diversi '''settijiet ta' somom ristretti'''<ref>'''Sett ta’ somom ristretti''' għandu l-forma 

:<math>S=\{a_1+\cdots+a_n:\ a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n 
\ \mathrm{and}\ P(a_1,\ldots,a_n)\not=0\},</math>

fejn <math> A_1,\ldots,A_n</math> huma sottosettijiet finiti mhux vojta ta' kamp <math>\ F</math> u <math>P(x_1,\ldots,x_n)</math> hu polinomju fuq <math>\ F</math>.</ref> u '''progressjonijiet aritmetiċi'''<ref>'''Progressjoni aritmetika''' hi suċċessjoni ta' numri sħaħ li fiha id-differenza bejn terminu u ta' qablu hi kostanti. Dal-kostanti nsejħulu r-''raġuni'' tal-progressjoni. Pereżempju, s-suċċessjoni 3, 5, 7, 9, 11, ... hi progressjoni aritmetika b’raġuni 2. 
Jekk l-ewwel terminu ta' progressjoni aritmetika hu ''a'' u r-raġuni hi ''d'', allura in-''n'' terminu tas-suċċessione hu mogħti minn:

:<math>a_n=a+(n-1)d\,</math> .</ref> fis-sett tal-interi. Il-metodi alġebrin u analitiċi għandhom qawwa kbira f'dan il-qasam.

=== It-teorija komputazzjonali tan-numri ===
Dan il-qasam jistudja l-iżjed l-algoritmi li qegħdin apposta għat-teorija tan-numri. L-algoritmi deterministiċi u probabilistiċi għall-verifika tal-primalità u l-fattorizzazzjoni tan-numri sħaħ għandhom applikazzjonijiet importanti fil-[[krittografija]].

== Storja tat-teorija tan-numri ==
=== Iċ-ċiviltà Vedika ===
Il-matematiċi [[Indja]]ni kienu ilhom interessati li jsibu soluzzjonijiet integrali għall-ekwazzjonijiet diofantej mill-perjodu Vediku. L-użu ġeometriku l-iżjed antik tal-ekwazzjonijiet diofantej insibuh fis-[[Sulba Sutra]], li nkitbu bejn is-sekli VIII u VI Q.K. Bawdhajana (madwar 800 Q.K.) sab żewġ settijiet ta' soluzzjonijiet integrali pożittivi ta' sistema ta' ekwazzjonijiet diofantej, u uża wkoll is-sistemi ta' ekwazzjonijiet diofantej b’erba’ varjabbli mhux magħrufin. [[Apastamba]] (madwar 600 Q.K) uża wkoll is-sistemi ta' ekwazzjonijiet diofantej b’ħames varjabbli mhux magħrufin.

=== L-epoka Ġajina ===
Fl-indja, il-matematiċi tal-epoka Ġajina żviluppaw teorija sistematika tan-numri mis-seklu IV sas-seklu II Q.K. It-test tas-''Surja Praġinapti'' (madwar 400 Q.K.) ikklassifika n-numri kollha fi tliet settijiet, numerevoli, innumerevoli u infiniti. Kull wieħed minn dawn it-tliet settijiet imbagħad jinqasam fi tliet ordnijiet :

* Numerevoli: l-iżjed baxxi, tan-nofs u l-ogħla.
* Innumerevoli: Kważi numerevoli, tassew innumerevoli u innumerevolament innumerevoli.
* Infiniti : Kważi finiti, tassew infiniti, infinitament infiniti.

Il-matematiċi tal-epoka Ġajina kienu l-ewwel li warrbu l-idea li l-infinitajiet kollha huma l-istess u ndaqs. Għarfu ħames tipi differenti ta infinità: infinità f'direzzjoni waħda jew tnejn (dimensjoni waħda), infintà f’superfiċju (żewġ dimensjonijiet) u infinità kullimkien (tliet dimensjonijiet) u infinità ta' dejjem (f'numru infinit ta' dimensjonijiet). 

L-ogħla numru innumerevoli ''N'' tax-xogħol Ġajin jikkoresspondi mal-kunċett modern ta' alef-żero, <math>\aleph_0</math>, (in-numru kardinali tas-sett infinit tal-interi 1, 2, ...), l-iċken numru trasfinit kardinali. Il-matematiċi ta' din l-epoka iddefinew ukoll sistema sħiħa ta' numri kardinali trasfiniti, li fosthom l- <math>\aleph_0</math>  tagħna hu l-iżgħar. 

Fl-istudju tat-teorija tas-settijiet, iddistingwew żewġ tipi bażiċi ta' numri trasfiniti. Għal raġunijiet fiżiċi u ontoloġiċi għamlu distinzjoni bejn ''asmkjata'' u ''ananata'', bejn l-infinit b'rabta riġida u b'rabta laxka.

=== Iċ-ċiviltà Griega ===
It-teorija tan-numri kienet suġġett favorit fost il-matematiċi [[Greċja|Griegi]] ta' Lixandra fl-[[Eġittu]] mill-bidu tas-seklu III Q.K., li kienu jagħfu bil-kunċett tal-ekwazzjoni Diofanteja f’bosta każijiet partikulari. L-ewwel matematiku Grieg li studja dan l-ekwazzjonijiet kien [[Diofantu]].  

Diofantu fittex ukoll metodu biex jinstabu soluzzjonijiet integrali għall-ekwazzjonijiet indeterminati linjari, ekwazzjonijiet li m’għandhoma imformazzjoni biżżejjed biex jagħtu sett uniku ta' soluzzjonijiet diskreti. L-ekwazzjoni <math>\ x + y = 5\,</math> hi waħda minnhom. Diofantu sab ħafna ekwazzjonijiet indeterminati li jistgħu jiġu ridotti  f'forma waħda li għaliha hi magħrufa ċerta kategorija ta' soluzzjonijiet allavolja m'hemmx soluzzjoni speċifika.

=== L-epoka klassika f'l-Indja ===
Il-matematiċi Indjani tal-perjodu medjovali studjaw l-ekwazzjonijiet diofantej b'ħafna ħerqa. Huma kienu l-ewwel li għamlu tfittxija sistematika għal metodi għad-determinazzjoni ta' soluzzjonijet integrali tal-ekwazzjonijiet diofantej. [[Arijabhata]] (fl-499) ta l-ewwel deskrizzjoni espliċita ta' soluzzjoni integrali ġenerali tal-ekwazzjoni diofanteja <math>\ ay + bx = c\,</math>, li dehret fil-ktieb tiegħu ''Arijabhatija''. Dan l-algoritmu, ''kuttaka'', meqjus bħala waħda mill-kontribuzzjonijiet importanti ta’ Arijabhata fil-matematika pura, jinstabu bih is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjonijiet diofantej f’termini ta' [[frazzjonijiet kontinwati]]. Arijabhata applika l-metodu biex jagħti s-soluzzjonijiet integrali tal-ekwazzjonijiet diofantej linjari, problema li għandu applikazzjonijiet importanti fl-astronomija. Bl-istess metodu sab ukoll is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni linjari indeterminata.

[[Brahmagupta]] fl-628 ħadem fuq ekwazzjonijiet diofantej iżjed diffiċli.  Uża l-metodu ''ċakravala'' biex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet diofantej kwadratiċi, fosthom xi forom tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat, bħal <math>\ 61x^2 + 1 = y^2\,</math>. Ix-xogħol tiegħu ''Brahma Sphuta Siddhanta'' inqaleb għall-[[Għarbi]] fl-773 u għal-[[Latin]] iżjed tard fl-1126. L-ekwazzjoni <math>\ 61x^2 + 1 = y^2\,</math> fl-1657, il-matematiku  [[Franza|Franċiż]] [[Pierre de Fermat]] ipproponiha bħala problema. Is-soluzzjoni ġenerali ta'  din il-forma partikulari tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat sabha 70 sena wara [[Leonhard Euler]], waqt li s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat sabha 100 sena wara [[Joseph Louis Lagrange]] fl-1767. Fil-waqt,  ħafna sekli qabel, is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat kien diġà sabha u kitiebha [[Bhaskara II]] fl-1150, bl-użu ta' verżjoni modifikata tal-metodu ''ċakravala'' ta' Brahmagupta, li użah ukoll biex isib is-soluzzjoni ġenerali ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati oħra u ta' ekwazzjonijiet diofantej kwadratiċi oħra. Il-metodu ''ċakravala'' ta' Bhaskara biex tinstab is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat kien eħfef mill-metodu li uża Lagrange 600 sena wara.

Bhaskara sab ukoll xi soluzzjonijiet għall-ekwazzjonijiet indeterminati oħra kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi u polinomjali ta' ordni ogħla. [[Narayana Pandit]] kompla jipperfezzjoni l-metodu ''ċakravala'' u sab iżjed soluzzjonijiet ġenerali għall-kwadratiċi indeterminati l-oħra u wkoll għall-ekwazzjonijiet polinomjali ta' ordni ogħla.

=== Iċ-ċiviltà Iżlamika ===
Mis-seklu IX, il-matematiċi misilmin bdew jinterresaw ruħhom bil-ħeġġa fit-teorija tan-numri. L-ewwel minn dawn il-matematiċi kien il-matematiku Għarbi [[Thabit ibn Qurra]], li skopra teorema biex jinstabu pari ta' '''numri ħbieb'''<ref> Żewġ numri huma msejħin '''ħbieb''' jekk kull wieħed minnhom hu s-somma tad-diviżuri proprji tal-ieħor.</ref>.

Fis-seklu X, [[Al-Bagdadi]] skopra verżjoni xi ftit differenti tat-teorema ta’ Thabit ibn Qurra. [[Al-Hajtham]] jidher li kien l-ewwel wieħed li pprova jikklassifika in-numri żewġ perfetti<ref name=perf/> . Al-Hajtham kien ukoll l-ewwel li ipprova t-[[teorema ta' Wilson]], jiġifieri, jekk <math>\ p</math> hu sħiħ imbagħad <math>p\,</math> jidħol ġo <math>1+(p-1)!\,</math>. Mhux ċar jekk kienx jaf jipprova dan ir-riżultat. Dan it-teorema tissejjaħ it-teorema ta' Wilson minħabba l-kumment li għamel Edward Waring fl-1770 li John Wilson kien intebaħ b’dan ir-riżultat. John Wilson avża 'l Waring li ma kienx jaf kif jippruvah u Waring ma sabx prova. L-ewwel prova magħrufa sabha Leibniz, li ma kienx jahseb li hi uttli biżżejjed biex jippubblikaha u  Euler ippubblika l-ewwel prova.

In-numri ħbieb kellhom sehem kbir fil-matematika Iżlamika. Fis-seklu XIII il-matematiku [[Persja]]n [[Al-Fariżi]] ta prova ġdida tat-teorema ta' Thabit ibn Qurra, fejn daħħal ideat ġodda li għandhom x'jaqsmu mad-dekompożi u l-metodi kombinatorji. Sab ukoll il-par tan-numri ħbieb 17 296, 18 416 li kienu attribwiti lil Euler, imma nagħfu li Al-Fariżi, kien jaf bihom qabel u forsi anki Thabit ibn Qurra stess.
Fis-seklu XVII, [[Muħammet Baqir Jażdi]] sab il-par tan-numri ħbieb 9 363 584 u 9 437 056, ħafna qabel il-kontribuzzjoni ta' Euler.

=== It-teorija tan-numri fl-Ewropa ===

It-''teorija tan-numri'' fl-Ewropa bdiet fis-sekli XVI u XVII bix-xogħol ta' François Viète, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac u fuq kollox ta'  [[Pierre de Fermat|Fermat]]. [[Leonhard Euler|Euler]] u [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] ikkontribuxxew għat-teorija lejn l-aħħar tas-seklu VIII u s-suġġett beda jieħu xeħta xjentifika bix-xogħol kbir ta' [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1798) u [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1801). Nistgħu ngħidu l-teorija moderna tan-numri bdiet bil-ħidma ta' Gauss u l-ktieb tiegħu ''Disquisitiones arithmeticae'' (1801). Gauss qal {{Iċċita|''Il-matematika hi r-reġina tax-xjenzi u t t-teorija tan-numri hi r-reġina tal-matematika.'' }}

[[Čebyšëv]] <ref>Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System). </ref>(1850) ta limiti utli għan-numri primi bejn żewġ numri mogħtija. [[Bernhard Riemann|Riemann]] (1859) għamel konġettura li limitu tad-densità tan-numri primi ma taqbisx ċertu funzjoni (it-'''teorema tan-numri primi'''<ref name=np/>), daħħal l-[[analisi komplessa]] fit-teorija tal-'''funzjoni ζ ta'  Riemann'''<ref>Il-funzjoni <math>\ \zeta</math> ta'  Riemann hi funzjoni analitika komplessa meromorfa definita, għal <math>\Re(s)>1</math>, bis-serje ta' Dirichlet:
<center><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty{\frac1{n^s}}</math>.</center>
Ir-rabta bejn il-funzjoni <math>\ \zeta</math> u n-numri primi stabbiliha Euler bil-formula, valida għal <math>\Re(s) >1</math> :

<center><math>\zeta(s) \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}}
</math></center>

fejn il-prodott infinit jestendi fuq is-sett <math>\mathcal P</math> tan-numri primi.</ref>
, u  miż-żeri tagħha ddeduċa l-formula tan-numri primi.

L-aritmetika modulari bdiha sewwa Gauss bid-''Disquisitiones arithmeticae''. Hu daħħal dan is-simbolu:

:<math>a \equiv b \pmod c \;</math>

u esplora l-parti kbira ta' dan il-qasam. Iġġeneralizza t-teorija għall-interi relattivi u skopra l-ewwel sett ta' numri sħaħ alġebrin<ref>'''Numru interu alġebri''' hu numru kompless li hu radiċi ta' xi polinomju (b'1 bħala l-ewwel koeffiċjent) b' koeffiċjenti integrali.</ref>, l-interi ta' Gauss<ref>'''Interu ta' Gauss''' hu numru kompless li l-partijiet reali u immaġinarji tiegħu huma t-tnejn interi.</ref>. Čebyšëv fl-1847 ppubblika xogħol bir-[[Russja|Russu]] fuq is-suġġett, u fi [[Franza]], Joseph-Alfred Serret għamlu popolari.

Barra li ġabar fil-qosor ix-xogħol ta' qabel, [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] stabilixxa l-ewwel applikazzjonijiet tal-'''liġi tar-reċiproċità kwadratika'''<ref name=kwad/>. Din il-liġi li kien proponiha Euler wara li skopriha bl-induzzjoni, ippruvaha għall-ewwel darba Legendre fix-xogħol tiegħu ''It-teorija tan-numri ''(1798) għal xi każijiet partikulari. Indipendement minn Euler u Legendre, il-liġi skopriha Gauss lejn l-1795, u dan kien l-ewwel li ta prova ġenerali. Dawn ikkontribuxxew ukoll għas-suġġett : [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] , [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] bix-xogħol tiegħu ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' li sar klassiku , [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]], li daħħal is-''simbolu ta' Jacobi'' , [[Joseph Liouville|Liouville]], Ferdinand Eisenstein, Ernst Kummer, u Léopold Kronecker. It-teorija twessgħet minn Gauss, Jacobi u Kummer biex tħaddan ir-reċiproċità bikwadratika u kubika (ippruvata għall-ewwel darba minn Jacobi).

Lil Gauss nafulu wkoll r-rapprentazzoni tan-numri bil-'''forom kwadratiċi binarji'''. Cauchy, Louis Poinsot (1845), [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] (1859, 1868), u l-iżjed [[Charles Hermite|Hermite]] kollha taw kontribut għal dan is-suġġett. Fit-teorija tal-forom ternarji, Eisenstein kien minn ta' quddiem, u minħabba fih u f' H. J. S. Smith, kien hemm progress notevoli fit-teorija tal-forom in ġenerali.

Smith ta klassifikazzjoni kompluta tal-forom kwadratiċi ternarji, u estenda r-riċerki ta' Gauss fuq il-forom kwadratiċi reali lejn il-forom komplessi. Eisenstein daħal iżjed fil-fond fli għandu x’jaqsam mar-rappreżentazzjoni tan-numri bis-somma ta' 4, 5, 6, 7, 8 kwadrati u t-teorija kompliha Smith.

Fl-istorja tat-teorija tan-numri, l-'''aħħar teorema ta’ Fermat''' <ref name=Fermat/> għandha post speċjali minħabba l-isforzi kbar, mifruxin fuq iżjed minn tliet mitt sena, mill-matematiċi tad-dinja kollha biex jippruvawha jew imeruha.
Pierre de Fermat ta prova hu stess fil-każ partikulari ''n'' = 4. Euler, fl-1753 kważi ippruvaha għal ''n'' = 3, u daħħal fil-prova tiegħu in-numri imaġinarji. Fl-1825, Dirichlet u Legendre ippruvaw il-każ ''n'' = 5 u Gabriel Lamé l-każ ''n'' = 7 fl-1839. Dawn il-każijiet diversi kienu ppruvati bl-għajnuna tal-istruttura taċ-'''ċrieki Ewklidej''' tal-istess natura bħall-interi ta' Gauss, jiġifieri ċ-ċrieki tal-interi ta' Eisenstein u l-interi ta' Dirichlet<ref>L-'''interi ta' Eisenstein''' huma numri komplessi tal-forma 

:<math>z = a + b\,\omega</math>

fejn ''a'' u ''b'' huma interi u

:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3}) = e^{2\pi \frac{i}{3}}</math>

radiċi kubika komplessa tal-unità. L-'''interi ta' Dirichlet''' huma numri komplessi tal-forma 

:<math>z = a + b\,\omega</math>

fejn ''a'' u ''b'' huma interi relattivi</ref>
. [[Ernst Kummer|Kummer]] fl-1847 pprova t-teorema fil-każ li l-esponent ''n'' hu numru prim regolari u beda t-teorija tal-'''ideali'''. Fl-aħħar tas-seklu XIX u l-bidu tas-seklu XX, il-matematiċi ttraskuraw it-teorema ta' Fermat biex jikkonċentraw fuq is-sisien tal-matematika. Fl-1955, il-[[Ġappun|Ġappuniżi]] Taniyama u Shimura suġġerew li hemm rabta profonda bejn il-'''funzjonijiet ellittiċi''' u l-'''forom modulari''', żewġ oqsma tal-matematika ''a priori'' mbegħdin ħafna minn xulxin. Jekk il-konġettura ta' Shimura-Taniyama-Weil, hi vera ifisser li t-teorema ta' Fermat hi vera wkoll. Fl-1994 Andrew Wiles, bl-għajnuna ta' Richard Taylor, ipprova din il-konġettura, u ta tweġiba pożittiva għal din il-problema famuża.

== Noti u referenzi ==
{{referenzi}}
== Bibljografija ==
* Oystein Ore (1948): ''Number Theory and Its History'',  Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65620-9
* Richard Dedekind (1963), ''Essays on the Theory of Numbers'',  Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-21010-3
* Richard K. Guy (1981): ''Unsolved Problems in Number Theory'', Springer, ISBN 0-387-90593-6
* Harold Davenport, ''Aritmetica superiore''. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6
* Melvyn B. Nathanson (2000): ''Elementary methods in number theory'', Springer, ISBN 0-387-98912-9
* Kenneth Ireland & Michael Rosen (1990): ''A Classical Introduction to Modern Number Theory'', 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-97329-0 
== Ħoloq esterni ==
{{commons|Category:Number theory}}
{{portal|Matematika|P_math.png}}
* [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Daħla għat-teorija tan-numri]
* [https://web.archive.org/web/20080719233303/http://www.gutenberg.net/etext05/hsmmt10p.pdf Storja tal-matematika moderna ta' David Eugene Smith, 1906]

[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Teorija tan-numri]]